Non è solo approssimazione...!

Se dicessimo che 0,999999....9999.... fosse uguale a 1 cosa rispondereste?

Che di sicuro con buona approssimazione è corretto dire che 0,999... = 1 .

Eppure in questo caso l'approssimazione non c'entra: i due numeri sono effettivamente uguali.

Come è possibile allora che sia lecito il passaggio da un decimale periodico a un intero?

La dimostrazione è riportata di seguito ed è davvero semplice.
Premettiamo un passaggio fondamentale: una serie geometrica  di ragione q

 

per -1 < q < 1 converge ad un limite finito e questo è pari a:

 

La dimostrazione più semplice si ottiene in questo modo:

Se

moltiplichiamo entrambi i membri per q:

sottraiamo membro a membro:

 Da cui risulta:

  

E per

  siccome -1 < q < 1 .

Risulta dimostrato che la serie converge a    

                  (nel caso a = 1)

Tornando al nostro 0,999... poniamo :

E otteniamo

Ma osserviamo che 

E confermiamo quindi la tesi che 0,999... = 1 e non è solo un risultato approssimato, ma è effettivamente quello corretto. Strano ma vero.