Sarò lieto di sorprendere molti di voi con una semplice domanda: può una palla di raggio 2 essere interamente contenuta in una palla di raggio 3?
(Non valgono risposte del tipo: basta bucare e sgonfiare la palla "più grande" )
Ovviamente la risposta è no. Ma la domanda è mal formulata: se chiariamo un pochino di cosa si sta parlando, la risposta diventa sì.
Tanto per cominciare:
- $ d(x,y)\geq0$
- $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
- $d(x,y)=d(y,x)$
- $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) $
Le ultime due proprietà sono dette rispettivamente: simmetria e proprietà triangolare.
Un insieme X dotato di una distanza $d$ è detto spazio metrico.
La distanza usuale a cui facciamo di solito riferimento è la cosiddetta distanza euclidea: $$d(x,y)= \sqrt{\sum (x_{i}-y_{i})^{2}}$$
dove $x=(x_{1}, ... , x_{n})$ e $y=(y_{1}, ... , y_{n})$ sono vettori nello spazio $\mathbb{R}^{n}$.
Ora possiamo riformulare la domanda: esiste uno spazio metrico in cui una palla aperta di raggio $2$ contiene propriamente una palla aperta di raggio $3$ ?
Ebbene sì, il trucco, se così si può chiamare, non sta nel trovare uno spazio strano bensì nel definire una distanza opportuna.
Basta infatti prendere $\mathbb{R}^{n}$ e per semplicità possiamo considerare il piano $\mathbb{R}^{2}$, con la seguente distanza:
$$ d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $$ definita come:
$$\left\{\begin{matrix} d(x,y)=\parallel x\parallel +\parallel y \parallel \\ d(x,x)=0 \end{matrix} \right. $$
Ora consideriamo le due palle $ \textit{B}_{2}((0,0))$ e $ \textit{B}_{3}((\frac{3}{2}, 0))$.
Possiamo affermare che la seconda è contenuta nella prima.
Un disegnino per capire di cosa stiamo parlando:
Diamo una dimostrazione di questa strana situazione. Intuitivamente, $\parallel x \parallel$ è la classica distanza euclidea e dice quanto il punto $x=(x_{1},x_{2})$ è lontano dall'origine degli assi. La nostra nuova distanza è misurata sommando i percorsi dal punto $x$ all'origine e dall'origine al punto $y=(y_{1},y_{2})$. Questo fa sì che due punti anche molto "vicini" secondo la distanza euclidea risultino anche molto lontani nella nuova distanza.
In concreto, vediamo quali sono i punti appartenenti alla palla di raggio $3$:
$ \textit{B}_{3}((\frac{3}{2}, 0))=\left\{y\:\epsilon \:\mathbb{R}^{2} | \parallel x \parallel + \parallel y\parallel= \parallel (\frac{3}{2},0) \parallel + \parallel y\parallel < 3 \right\}$
Dunque $\parallel (\frac{3}{2},0) \parallel + \parallel y\parallel < 3 $ equivale a $ \parallel y\parallel < 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} $ cioè al cerchio centrato nell'origine e raggio $\frac{3}{4}$ . Dato che $\frac{3}{4} < 2$, questo secondo cerchio è contenuto propriamente nel primo.
Qui sotto riporto una animazione che mostra un ulteriore fatto sorprendente legato a questa strana distanza:
non sempre il centro della palla è contenuto all'interno della palla stessa. Man mano che allontaniamo il centro dall'origine, lungo uno degli assi, la palla si rimpicciolisce e perciò non è abbastanza grande da contenere il centro stesso (tutto ciò tenendo fisso il raggio).
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| Una palla di raggio 2 nella distanza post office: man mano che il centro si sposta dall'origine contiene sempre meno punti. |
dell’intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono degli stati puri, ma miscelati con uguale peso
