Palle mattamatiche

Sarò lieto di sorprendere molti di voi con una semplice domanda: può una palla di raggio 2 essere interamente contenuta in una palla di raggio 3?

(Non valgono risposte del tipo: basta bucare e sgonfiare la palla "più grande" )

Ovviamente la risposta è no. Ma la domanda è mal formulata: se chiariamo un pochino di cosa si sta parlando, la risposta diventa sì.

Tanto per cominciare:

una palla di centro $x_{0}$ e raggio $r$ in matematica è definita come l'insieme $\textit{B}_{r}(x_{0}):=\{ x\:\epsilon\:X \: | d(x,y) < r\}$

$d(x,y)$ è una distanza, cioè una funzione $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ con le seguenti proprietà:

• $d(x,y)\geq0$
• $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Le ultime due proprietà sono dette rispettivamente: simmetria e proprietà triangolare.

Un insieme X dotato di una distanza $d$ è detto spazio metrico.

La distanza usuale a cui facciamo di solito riferimento è la cosiddetta distanza euclidea: $$d(x,y)= \sqrt{\sum (x_{i}-y_{i})^{2}}$$

dove $x=(x_{1}, ... , x_{n})$ e $y=(y_{1}, ... , y_{n})$ sono vettori nello spazio $\mathbb{R}^{n}$.

Ora possiamo riformulare la domanda: esiste uno spazio metrico in cui una palla aperta di raggio $2$ contiene propriamente una palla aperta di raggio $3$ ? 

Ebbene sì, il trucco, se così si può chiamare, non sta nel trovare uno spazio strano bensì nel definire una distanza opportuna.

Basta infatti prendere $\mathbb{R}^{n}$ e per semplicità possiamo considerare il piano $\mathbb{R}^{2}$, con la seguente distanza:

$$d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$$ definita come:

$$\left\{\begin{matrix} d(x,y)=\parallel x\parallel +\parallel y \parallel \\ d(x,x)=0  \end{matrix} \right.$$

Ora consideriamo le due palle $\textit{B}_{2}((0,0))$ e $\textit{B}_{3}((\frac{3}{2}, 0))$.

Possiamo affermare che la seconda è contenuta nella prima.

Un disegnino per capire di cosa stiamo parlando:

Diamo una dimostrazione di questa strana situazione. Intuitivamente, $\parallel x \parallel$ è la classica distanza euclidea e dice quanto il punto $x=(x_{1},x_{2})$ è lontano dall'origine degli assi. La nostra nuova distanza è misurata sommando i percorsi dal punto $x$ all'origine e dall'origine al punto $y=(y_{1},y_{2})$. Questo fa sì che due punti anche molto "vicini" secondo la distanza euclidea risultino anche molto lontani nella nuova distanza.

In concreto, vediamo quali sono i punti appartenenti alla palla di raggio $3$:

$\textit{B}_{3}((\frac{3}{2}, 0))=\left\{y\:\epsilon \:\mathbb{R}^{2} | \parallel x \parallel + \parallel y\parallel= \parallel (\frac{3}{2},0) \parallel + \parallel y\parallel < 3 \right\}$

Dunque $\parallel (\frac{3}{2},0) \parallel + \parallel y\parallel < 3$ equivale a $\parallel y\parallel < 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$ cioè al cerchio centrato nell'origine e raggio $\frac{3}{4}$ . Dato che $\frac{3}{4} < 2$, questo secondo cerchio è contenuto propriamente nel primo.

Qui sotto riporto una animazione che mostra un ulteriore fatto sorprendente legato a questa strana distanza:

non sempre il centro della palla è contenuto all'interno della palla stessa. Man mano che allontaniamo il centro dall'origine, lungo uno degli assi, la palla si rimpicciolisce e perciò non è abbastanza grande da contenere il centro stesso (tutto ciò tenendo fisso il raggio).

Una palla di raggio 2 nella distanza post office: man mano che il centro si sposta dall'origine contiene sempre meno punti.

 

Curiosità sulla curiosità:

$\circledast$ La distanza che abbiamo definito sopra è chiamata dagli anglofoni post office distance, alludendo al fatto che le lettere prima di essere portate a destinazione passavano necessariamente per l'ufficio postale principale di Londra. 

$\circledast$ Non è necessario utilizzare la norma euclidea $\parallel \cdot \parallel$ perché $d(x,y)$ risulti una distanza, basta una qualunque funzione $f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow [0, +\infty)$ che assuma il valore $0$ al più una volta, e allora la funzione $$\left\{\begin{matrix} d(x,y)=f(x)+f(y) \\ d(x,x)=0  \end{matrix} \right.$$ rispetta tutti gli assiomi.  

$\circledast$ Questo giochino non funziona con una qualunque coppia di raggi: non c'è modo per una palla di raggio $1$ di contenerne una di raggio $2$, neppure con la distanza post office!