Sarò lieto di sorprendere molti di voi con una semplice domanda: può una palla di raggio 2 essere interamente contenuta in una palla di raggio 3?
(Non valgono risposte del tipo: basta bucare e sgonfiare la palla "più grande" )
Ovviamente la risposta è no. Ma la domanda è mal formulata: se chiariamo un pochino di cosa si sta parlando, la risposta diventa sì.
Tanto per cominciare:
- d(x,y)\geq0
- d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
- d(x,y)=d(y,x)
- d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)
Le ultime due proprietà sono dette rispettivamente: simmetria e proprietà triangolare.
Un insieme X dotato di una distanza d è detto spazio metrico.
La distanza usuale a cui facciamo di solito riferimento è la cosiddetta distanza euclidea: d(x,y)= \sqrt{\sum (x_{i}-y_{i})^{2}}
dove x=(x_{1}, ... , x_{n}) e y=(y_{1}, ... , y_{n}) sono vettori nello spazio \mathbb{R}^{n}.
Ora possiamo riformulare la domanda: esiste uno spazio metrico in cui una palla aperta di raggio 2 contiene propriamente una palla aperta di raggio 3 ?
Ebbene sì, il trucco, se così si può chiamare, non sta nel trovare uno spazio strano bensì nel definire una distanza opportuna.
Basta infatti prendere \mathbb{R}^{n} e per semplicità possiamo considerare il piano \mathbb{R}^{2}, con la seguente distanza:
d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definita come:
\left\{\begin{matrix} d(x,y)=\parallel x\parallel +\parallel y \parallel \\ d(x,x)=0 \end{matrix} \right.
Ora consideriamo le due palle \textit{B}_{2}((0,0)) e \textit{B}_{3}((\frac{3}{2}, 0)).
Possiamo affermare che la seconda è contenuta nella prima.
Un disegnino per capire di cosa stiamo parlando:
Diamo una dimostrazione di questa strana situazione. Intuitivamente, \parallel x \parallel è la classica distanza euclidea e dice quanto il punto x=(x_{1},x_{2}) è lontano dall'origine degli assi. La nostra nuova distanza è misurata sommando i percorsi dal punto x all'origine e dall'origine al punto y=(y_{1},y_{2}). Questo fa sì che due punti anche molto "vicini" secondo la distanza euclidea risultino anche molto lontani nella nuova distanza.
In concreto, vediamo quali sono i punti appartenenti alla palla di raggio 3:
\textit{B}_{3}((\frac{3}{2}, 0))=\left\{y\:\epsilon \:\mathbb{R}^{2} | \parallel x \parallel + \parallel y\parallel= \parallel (\frac{3}{2},0) \parallel + \parallel y\parallel < 3 \right\}
Dunque \parallel (\frac{3}{2},0) \parallel + \parallel y\parallel < 3 equivale a \parallel y\parallel < 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} cioè al cerchio centrato nell'origine e raggio \frac{3}{4} . Dato che \frac{3}{4} < 2, questo secondo cerchio è contenuto propriamente nel primo.
Qui sotto riporto una animazione che mostra un ulteriore fatto sorprendente legato a questa strana distanza:
non sempre il centro della palla è contenuto all'interno della palla stessa. Man mano che allontaniamo il centro dall'origine, lungo uno degli assi, la palla si rimpicciolisce e perciò non è abbastanza grande da contenere il centro stesso (tutto ciò tenendo fisso il raggio).
 | ||||||||
| Una palla di raggio 2 nella distanza post office: man mano che il centro si sposta dall'origine contiene sempre meno punti. |
