Se dicessimo che 0,999999....9999.... fosse uguale a 1 cosa rispondereste?
Che di sicuro con buona approssimazione è corretto dire che 0,999... = 1 .
Eppure in questo caso l'approssimazione non c'entra: i due numeri sono effettivamente uguali.
Come è possibile allora che sia lecito il passaggio da un decimale periodico a un intero?
La dimostrazione è riportata di seguito ed è davvero semplice.
Premettiamo un passaggio fondamentale: una serie geometrica di ragione q
La dimostrazione più semplice si ottiene in questo modo:
Se
moltiplichiamo entrambi i membri per q:
sottraiamo membro a membro:
Da cui risulta:
E per
siccome -1 < q < 1 .
Risulta dimostrato che la serie converge a
(nel caso a = 1)
Tornando al nostro 0,999... poniamo :
E otteniamo
Ma osserviamo che
E confermiamo quindi la tesi che 0,999... = 1 e non è solo un risultato approssimato, ma è effettivamente quello corretto. Strano ma vero.
