martedì 24 giugno 2014

Non è solo approssimazione...!

Se dicessimo che 0,999999....9999.... fosse uguale a 1 cosa rispondereste?
Che di sicuro con buona approssimazione è corretto dire che 0,999... = 1 .
Eppure in questo caso l'approssimazione non c'entra: i due numeri sono effettivamente uguali.
Come è possibile allora che sia lecito il passaggio da un decimale periodico a un intero?


La dimostrazione è riportata di seguito ed è davvero semplice.
Premettiamo un passaggio fondamentale: una serie geometrica  di ragione q
\sum_{n=0}^{+\infty} q^n 
per -1 < q < 1 converge ad un limite finito e questo è pari a:
 \frac{1}{1-q}
La dimostrazione più semplice si ottiene in questo modo:
Se
moltiplichiamo entrambi i membri per q:
sottraiamo membro a membro:
 Da cui risulta:
  
E per
  siccome -1 < q < 1 .

Risulta dimostrato che la serie converge a    
           \frac{1}{1-q}       (nel caso a = 1)
Tornando al nostro 0,999... poniamo :

E otteniamo

Ma osserviamo che 

E confermiamo quindi la tesi che 0,999... = 1 e non è solo un risultato approssimato, ma è effettivamente quello corretto. Strano ma vero.