sabato 12 settembre 2015

Nastri e bottiglie mattamatici

August Ferdinand Möbius, 1790 - 1868




Mai sentito parlare di August Ferdinand Möbius?  No? Probabilmente è più conosciuto il "suo" nastro: esiste un solo lato e un solo bordo; dopo aver percorso un giro, ci si trova dalla parte opposta, infatti il nastro ha una sola faccia!




Chiunque può realizzare un nastro di Mobius: basta un foglio di carta e delle forbici.Ritaglia un rettangolo e poi incolla le due estremità dopo averne ruotata una di 180°.Prova a percorrere con la matita la superficie, andrai dovunque senza staccare mai la punta!


Il nastro di Moebius ha un fascino che va al di là della semplice curiosità topologica. Se si inizia a percorrerlo, difficilmente vien voglia di fermarsi al primo giro. Sarà per questo che è il simbolo dell'infinito. Da sempre, vari artisti hanno fatto quadri raffiguranti il nastro la cui bellezza proviene in parte dalla loro bravura, in parte dalla natura intrinseca del soggetto rappresentato. 

M. C. Escher: Swans, 1956

Tra tutti, non poteva mancare l'artista che forse più di tutti gli altri ha arricchito di matematica le proprie opere: Mauritius Cornelius Escher. Tra i suoi quadri e le sue incisioni troviamo più d'una rappresentazione del famoso nastro. Prima una tassellazione di cigni che volano in uno stormo ordinato e quasi inquietante; poi troviamo alcune formiche che percorrono infinitamente la superficie dipinta a mo' di grata.


M. C. Escher, Anello di Möbius II, 1963

Strettamente legato a Mobius è il nome del matematico - anch'egli tedesco - Felix Klein

Felix_Klein, 1849 - 1925 
Se il suo collega amava i nastri, lui preferiva le bottiglie!
Arcinota infatti la "Bottiglia di Klein" il cui nome deriva in realtà da un misunderstanding linguistico: Fläche in tedesco significa superficie, mentre Flasche significa bottiglia.

Nelle prime traduzioni, la forma che effettivamente ricorda quella di una bottiglia (ma non provate a riempirla, sarebbe fatica inutile), ha fatto si che la Kleinsche Fläche divenisse la Kleinsche Flasche.
Il nome, evidentemente più simpatico, è rimasto immutato da allora.
Come il Nastro di Mobius, anche la bottiglia ha una sola faccia: l'animazione mostra come si possa percorrere tutta senza mai capire se si è 'dentro' o 'fuori'.

Una bottiglia di Klein realizzata in vetro.




Il matematico austriaco Leo Moser ha scritto un limerick sul rapporto tra il nastro di Mobius e la bottiglia di Klein:


A mathematical named Klein Thought the Möbius band was divine.  Said he: "If you glue  The edges of two, You'll get a weird bottle like mine".




La cui traduzione è:

Un matematico di nome Klein
riteneva che il nastro di Möbius fosse divino.
Disse: "Se ne incollate
due lungo i bordi
avrete una bottiglia strana come la mia."


Teja Krasek e Cliff Pickover, We Have Died and Gone to Mobius Heaven

Ed ecco un video che mostra la transizione da un'oggetto all'altro: The Klein Bottle.